ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ક્ષેત્ર માટે મેક્સવેલના સમીકરણો - ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના મૂળભૂત નિયમો

મેક્સવેલના સમીકરણોની સિસ્ટમ તેનું નામ અને દેખાવ જેમ્સ ક્લર્ક મેક્સવેલને આભારી છે, જેમણે 19મી સદીના અંતમાં આ સમીકરણો ઘડ્યા અને લખ્યા.

મેક્સવેલ જેમ્સ ક્લાર્ક (1831 - 1879) પ્રખ્યાત બ્રિટિશ ભૌતિકશાસ્ત્રી અને ગણિતશાસ્ત્રી છે, જે ઈંગ્લેન્ડની કેમ્બ્રિજ યુનિવર્સિટીમાં પ્રોફેસર છે.

તેણે તે સમયે વીજળી અને ચુંબકત્વ પર મેળવેલા તમામ પ્રાયોગિક પરિણામોને તેના સમીકરણોમાં વ્યવહારીક રીતે જોડ્યા અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિઝમના નિયમોને સ્પષ્ટ ગાણિતિક સ્વરૂપ આપ્યું. ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના મૂળભૂત નિયમો (મેક્સવેલના સમીકરણો) 1873 માં ઘડવામાં આવ્યા હતા.

મેક્સવેલે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફિલ્ડના ફેરાડેના સિદ્ધાંતને સુસંગત ગાણિતિક સિદ્ધાંતમાં વિકસાવ્યો, જેમાંથી ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક પ્રક્રિયાઓના તરંગ પ્રસારની શક્યતાને અનુસરે છે. તે બહાર આવ્યું છે કે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક પ્રક્રિયાઓના પ્રસારની ગતિ પ્રકાશની ગતિ જેટલી છે (જેનું મૂલ્ય પ્રયોગોથી પહેલેથી જ જાણીતું હતું).

આ સંયોગ મેક્સવેલ માટે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક અને પ્રકાશ અસાધારણ ઘટનાની સામાન્ય પ્રકૃતિના વિચારને વ્યક્ત કરવા માટેના આધાર તરીકે સેવા આપી હતી, એટલે કે. પ્રકાશની ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક પ્રકૃતિ પર.

જેમ્સ મેક્સવેલ દ્વારા બનાવવામાં આવેલ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઘટનાના સિદ્ધાંતને હર્ટ્ઝના પ્રયોગોમાં તેની પ્રથમ પુષ્ટિ મળી, જેણે પ્રથમ વખત પ્રાપ્ત કર્યું. ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો.

પરિણામે, આ સમીકરણોએ શાસ્ત્રીય ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સની સચોટ રજૂઆતોની રચનામાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવી હતી. મેક્સવેલના સમીકરણો વિભેદક અથવા અભિન્ન સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે. વ્યવહારમાં, તેઓ ગણિતની શુષ્ક ભાષામાં વિદ્યુતચુંબકીય ક્ષેત્ર અને શૂન્યાવકાશ અને સતત માધ્યમોમાં ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ અને પ્રવાહો સાથેના તેના સંબંધનું વર્ણન કરે છે. આ સમીકરણોમાં તમે ઉમેરી શકો છો લોરેન્ટ્ઝ ફોર્સ માટે અભિવ્યક્તિ, જે કિસ્સામાં આપણે મેળવીએ છીએ ક્લાસિકલ ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સના સમીકરણોની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ.

મેક્સવેલના સમીકરણોના વિભેદક સ્વરૂપોમાં વપરાતા કેટલાક ગાણિતિક પ્રતીકોને સમજવા માટે, ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ નાબલા ઓપરેટર જેવી રસપ્રદ વસ્તુને વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

નાબલા ઓપરેટર (અથવા હેમિલ્ટન ઓપરેટર) એક વેક્ટર વિભેદક ઓપરેટર છે જેના ઘટકો કોઓર્ડિનેટ્સના સંદર્ભમાં આંશિક ડેરિવેટિવ્ઝ છે. આપણી વાસ્તવિક જગ્યા માટે, જે ત્રિ-પરિમાણીય છે, એક લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ યોગ્ય છે, જેના માટે ઓપરેટર નાબલા નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

જ્યાં i, j અને k એકમ સંકલન વેક્ટર છે

નાબલા ઓપરેટર, જ્યારે કોઈ ફિલ્ડમાં અમુક ગાણિતિક રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે ત્રણ સંભવિત સંયોજનો આપે છે. આ સંયોજનોને કહેવામાં આવે છે:

ઢાળ - એક વેક્ટર, તેની દિશા ચોક્કસ જથ્થાના સૌથી મોટા વધારાની દિશા દર્શાવે છે, જેનું મૂલ્ય અવકાશમાં એક બિંદુથી બીજા (સ્કેલર ક્ષેત્ર) સુધી બદલાય છે, અને તીવ્રતા (મોડ્યુલ) આના વિકાસ દરની બરાબર છે. આ દિશામાં જથ્થો.

ડાયવર્જન્સ (વિવિધતા) - એક વિભેદક ઓપરેટર કે જે વેક્ટર ક્ષેત્રને સ્કેલર પર મેપ કરે છે (એટલે ​​​​કે, વેક્ટર ક્ષેત્ર પર ભિન્નતા કામગીરી લાગુ કરવાના પરિણામે, એક સ્કેલર ક્ષેત્ર પ્રાપ્ત થાય છે), જે નક્કી કરે છે (દરેક બિંદુ માટે) "ક્ષેત્ર કેટલું પ્રવેશે છે અને આપેલ બિંદુના નાના પડોશને છોડી દે છે ”, વધુ સ્પષ્ટ રીતે પ્રવાહ અને આઉટફ્લો કેટલા અલગ છે.

રોટર (વમળ, પરિભ્રમણ) વેક્ટર ક્ષેત્ર પર વેક્ટર વિભેદક ઓપરેટર છે.

હવે સીધા વિચારો મેક્સવેલના સમીકરણો અભિન્ન (ડાબે) અને વિભેદક (જમણે) સ્વરૂપમાંઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શન સહિત ઇલેક્ટ્રીક અને મેગ્નેટિક ફિલ્ડના મૂળભૂત નિયમો ધરાવે છે.

અવિભાજ્ય સ્વરૂપ: મનસ્વી બંધ લૂપ સાથે ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ સ્ટ્રેન્થ વેક્ટરનું પરિભ્રમણ આ લૂપ દ્વારા બંધાયેલા પ્રદેશ દ્વારા ચુંબકીય પ્રવાહના પરિવર્તનના દરના સીધા પ્રમાણસર છે.

વિભેદક સ્વરૂપ: ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દરેક ફેરફાર ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઇન્ડક્શનના ફેરફારના દરના પ્રમાણસર એડી ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.

ભૌતિક અર્થ: સમય જતાં ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈપણ ફેરફાર એડી ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રના દેખાવનું કારણ બને છે.

અભિન્ન સ્વરૂપ: મનસ્વી બંધ સપાટી દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઇન્ડક્શન ફ્લક્સ શૂન્ય છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રકૃતિમાં કોઈ ચુંબકીય ચાર્જ નથી.

વિભેદક સ્વરૂપ: અનંત પ્રાથમિક વોલ્યુમના ચુંબકીય ક્ષેત્રના ઇન્ડક્શનની ક્ષેત્ર રેખાઓનો પ્રવાહ શૂન્ય બરાબર છે, કારણ કે ક્ષેત્ર એડી છે.

ભૌતિક અર્થ: પ્રકૃતિમાં ચુંબકીય ચાર્જના સ્વરૂપમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના કોઈ સ્ત્રોત નથી.

અવિભાજ્ય સ્વરૂપ: મનસ્વી બંધ લૂપ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્રની મજબૂતાઈ વેક્ટરનું પરિભ્રમણ આ લૂપ દ્વારા આવરી લેવામાં આવતી સપાટીને પાર કરતા કુલ વર્તમાનના સીધા પ્રમાણસર છે.

વિભેદક સ્વરૂપ: એડી ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈપણ વર્તમાન-વહન વાહકની આસપાસ અને કોઈપણ વૈકલ્પિક ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્રની આસપાસ અસ્તિત્વમાં છે.

ભૌતિક અર્થ: વાયર દ્વારા પ્રવાહનું સંચાલન કરવાનો પ્રવાહ અને સમય સાથે ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડમાં થતા ફેરફારો એડી ચુંબકીય ક્ષેત્રના દેખાવ તરફ દોરી જાય છે.

અવિભાજ્ય સ્વરૂપ: ચાર્જને ઘેરી લેતી મનસ્વી બંધ સપાટી દ્વારા ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક ઇન્ડક્શન વેક્ટરનો પ્રવાહ તે સપાટીની અંદર સ્થિત કુલ ચાર્જના સીધા પ્રમાણસર છે.

વિભેદક સ્વરૂપ: અનંત પ્રાથમિક વોલ્યુમમાંથી ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક ક્ષેત્રના ઇન્ડક્શન વેક્ટરનો પ્રવાહ તે વોલ્યુમમાં કુલ ચાર્જના સીધા પ્રમાણસર છે.

ભૌતિક અર્થ: ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડનો સ્ત્રોત ઇલેક્ટ્રિક ચાર્જ છે.

આ સમીકરણોની સિસ્ટમને કહેવાતા ભૌતિક સમીકરણોની સિસ્ટમ સાથે પૂરક બનાવી શકાય છે જે જગ્યા ભરવાના ભૌતિક માધ્યમના ગુણધર્મોને લાક્ષણિકતા આપે છે: