વેક્ટર ક્ષેત્રનો પ્રવાહ અને પરિભ્રમણ

રિચાર્ડ ફેનમેનની વ્યાખ્યાન સામગ્રી પર આધારિત

વેક્ટર ક્ષેત્રોની દ્રષ્ટિએ વીજળીના નિયમોનું વર્ણન કરતી વખતે, આપણે વેક્ટર ક્ષેત્રની બે ગાણિતિક રીતે મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓનો સામનો કરીએ છીએ: પ્રવાહ અને પરિભ્રમણ. આ ગાણિતિક ખ્યાલો શું છે અને તેનો વ્યવહારિક અર્થ શું છે તે સમજવું સરસ રહેશે.

પ્રશ્નનો બીજો ભાગ તરત જ જવાબ આપવા માટે સરળ છે કારણ કે પ્રવાહ અને પરિભ્રમણની વિભાવનાઓ હૃદયમાં છે મેક્સવેલના સમીકરણો, જેના પર તમામ આધુનિક ઇલેક્ટ્રોડાયનેમિક્સ વાસ્તવમાં આધાર રાખે છે.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ઇન્ડક્શનનો કાયદો નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: બંધ લૂપ C સાથે ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર E નું પરિભ્રમણ આ દ્વારા બંધાયેલ સપાટી S દ્વારા ચુંબકીય ક્ષેત્ર B ના પ્રવાહના પરિવર્તનના દર જેટલું છે. લૂપ બી.

આગળ શું છે, અમે સ્પષ્ટ પ્રવાહી ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને, ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતાઓ ગાણિતિક રીતે કેવી રીતે નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી આ ક્ષેત્રની લાક્ષણિકતાઓ લેવામાં આવે છે અને મેળવવામાં આવે છે તેનું વર્ણન કરીશું.

વેક્ટર ફીલ્ડ ફ્લક્સ

શરૂ કરવા માટે, ચાલો અભ્યાસ હેઠળના વિસ્તારની આસપાસ સંપૂર્ણપણે મનસ્વી આકારની ચોક્કસ બંધ સપાટી દોરીએ. આ સપાટીનું નિરૂપણ કર્યા પછી, અમે પૂછીએ છીએ કે શું અભ્યાસનો પદાર્થ, જેને આપણે ક્ષેત્ર કહીએ છીએ, તે આ બંધ સપાટીમાંથી વહે છે. આ બધું શું છે તે સમજવા માટે, એક સરળ પ્રવાહી ઉદાહરણનો વિચાર કરો.

ચાલો કહીએ કે અમે ચોક્કસ પ્રવાહીના વેગ ક્ષેત્રની તપાસ કરી રહ્યા છીએ. આવા ઉદાહરણ માટે, તે પૂછવું અર્થપૂર્ણ છે: શું આ સપાટી દ્વારા બંધાયેલા વોલ્યુમમાં વહેતા કરતાં એકમ સમય દીઠ આ સપાટીમાંથી વધુ પ્રવાહી પસાર થાય છે? બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, શું આઉટફ્લો દર હંમેશા મુખ્યત્વે અંદરથી નિર્દેશિત થાય છે?

"વેક્ટર ફીલ્ડ ફ્લક્સ" અભિવ્યક્તિ દ્વારા (અને અમારા ઉદાહરણ માટે "પ્રવાહી વેગ પ્રવાહ" અભિવ્યક્તિ વધુ સચોટ હશે), અમે કાલ્પનિક પ્રવાહીના કુલ જથ્થાને નામ આપવા માટે સંમત થઈશું જે આપેલ દ્વારા સીમિત માનવામાં આવેલા વોલ્યુમની સપાટી પરથી વહે છે. બંધ સપાટી (પ્રવાહી પ્રવાહ દર માટે, એકમ સમય દીઠ વોલ્યુમથી કેટલું પ્રવાહી અનુસરે છે).

પરિણામે, સપાટીના તત્વ દ્વારા પ્રવાહ વેગના કાટખૂણે ઘટક દ્વારા સપાટીના તત્વના ક્ષેત્રફળના ઉત્પાદન સમાન હશે. પછી સમગ્ર સપાટી પરનો કુલ (કુલ) પ્રવાહ વેગના સરેરાશ સામાન્ય ઘટકના ગુણાંક જેટલો હશે, જેને આપણે સપાટીના કુલ વિસ્તાર દ્વારા અંદરથી ગણીશું.

હવે પાછા ઇલેક્ટ્રિક ક્ષેત્ર પર. ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ, અલબત્ત, અમુક પ્રવાહીના પ્રવાહના વેગને ગણી શકાય નહીં, પરંતુ અમે પ્રવાહની ગાણિતિક વિભાવના રજૂ કરવા માટે હકદાર છીએ, જે આપણે ઉપર પ્રવાહીના વેગના પ્રવાહ તરીકે વર્ણવેલ છે તે સમાન છે.

માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્રના કિસ્સામાં, તેના પ્રવાહને વિદ્યુત ક્ષેત્રની તાકાત E ના સરેરાશ સામાન્ય ઘટક દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. વધુમાં, વિદ્યુત ક્ષેત્રનો પ્રવાહ બંધ સપાટી દ્વારા જરૂરી નથી, પરંતુ કોઈપણ બંધ સપાટી દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. બિન શૂન્ય વિસ્તાર S .

વેક્ટર ક્ષેત્રનું પરિભ્રમણ

તે દરેકને જાણીતું છે કે, વધુ સ્પષ્ટતા માટે, ક્ષેત્રોને બળની કહેવાતી રેખાઓના રૂપમાં દર્શાવી શકાય છે, જેમાંના દરેક બિંદુએ સ્પર્શકની દિશા ક્ષેત્રની શક્તિની દિશા સાથે એકરુપ હોય છે.

ચાલો પ્રવાહી સાદ્રશ્ય પર પાછા જઈએ અને પ્રવાહીના વેગ ક્ષેત્રની કલ્પના કરીએ. ચાલો આપણી જાતને એક પ્રશ્ન પૂછીએ: શું પ્રવાહી પરિભ્રમણ કરે છે? એટલે કે, શું તે મુખ્યત્વે અમુક કાલ્પનિક બંધ લૂપની દિશામાં આગળ વધે છે?

વધુ સ્પષ્ટતા માટે, કલ્પના કરો કે મોટા કન્ટેનરમાં પ્રવાહી કોઈક રીતે આગળ વધી રહ્યું છે (ફિગ. A) અને અમે અચાનક તેના લગભગ તમામ વોલ્યુમને સ્થિર કરી દીધું છે, પરંતુ એક સમાન રીતે બંધ નળીના સ્વરૂપમાં વોલ્યુમને સ્થિર રાખવા માટે વ્યવસ્થાપિત થયા છીએ જેમાં કોઈ નથી. દિવાલો પર પ્રવાહીનું ઘર્ષણ (અંજીર b).

આ ટ્યુબની બહાર, પ્રવાહી બરફમાં ફેરવાઈ ગયું છે અને તેથી તે હવે ખસેડી શકતું નથી, પરંતુ ટ્યુબની અંદર પ્રવાહી તેની હિલચાલ ચાલુ રાખવા માટે સક્ષમ છે, જો ત્યાં પ્રવર્તમાન ગતિ હોય જે તેને ચલાવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઘડિયાળની દિશામાં (ફિગ. ° સે). પછી ટ્યુબમાં પ્રવાહી વેગ અને નળીની લંબાઈનું ઉત્પાદન પ્રવાહી વેગ પરિભ્રમણ કહેવાશે.

એ જ રીતે, આપણે વેક્ટર ક્ષેત્ર માટે પરિભ્રમણને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ, જો કે ફરીથી ક્ષેત્રને કોઈપણ વસ્તુનો વેગ કહી શકાય નહીં, તેમ છતાં આપણે સમોચ્ચ સાથે "પરિભ્રમણ" ની ગાણિતિક લાક્ષણિકતાને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.

તેથી, કાલ્પનિક બંધ લૂપ સાથે વેક્ટર ક્ષેત્રના પરિભ્રમણને લૂપના માર્ગની દિશામાં - લૂપની લંબાઈ દ્વારા વેક્ટરના સરેરાશ સ્પર્શક ઘટકના ઉત્પાદન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.