બાયોટ-સાવર્ટ કાયદો અને ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરના પરિભ્રમણનું પ્રમેય

1820 માં, ફ્રેન્ચ વૈજ્ઞાનિકો જીન-બેપ્ટિસ્ટ બાયોટ અને ફેલિક્સ સવાર્ડે, પ્રત્યક્ષ પ્રવાહોના ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો અભ્યાસ કરવા માટેના સંયુક્ત પ્રયોગો દરમિયાન, સ્પષ્ટપણે સ્થાપિત કર્યું કે વાહક દ્વારા વહેતા સીધા પ્રવાહના ચુંબકીય ઇન્ડક્શનને પરિણામ તરીકે ગણી શકાય. વર્તમાન સાથે આ વાયરના તમામ વિભાગોની સામાન્ય ક્રિયા. આનો અર્થ એ છે કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત (ક્ષેત્રોની સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત) નું પાલન કરે છે.

ડીસી વાયરના જૂથ દ્વારા બનાવેલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર નીચે મુજબ છે ચુંબકીય ઇન્ડક્શનકે તેનું મૂલ્ય દરેક વાહક દ્વારા અલગથી બનાવેલા ચુંબકીય ઇન્ડક્શનના વેક્ટર સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. એટલે કે, ડાયરેક્ટ કરંટ વાહકના ઇન્ડક્શન Bને માનવામાં આવતા ડાયરેક્ટ કરંટ કંડક્ટર I ના પ્રાથમિક વિભાગો dl સાથે જોડાયેલા પ્રાથમિક ઇન્ડક્શન ડીબીના વેક્ટર સરવાળા દ્વારા યોગ્ય રીતે રજૂ કરી શકાય છે.

પ્રત્યક્ષ વર્તમાન વાહકના પ્રાથમિક વિભાગને અલગ પાડવું વ્યવહારીક રીતે અવાસ્તવિક છે, કારણ કે ડીસી. હંમેશા બંધ.પરંતુ તમે વાયર દ્વારા બનાવેલ કુલ ચુંબકીય ઇન્ડક્શનને માપી શકો છો, એટલે કે આપેલ વાયરના તમામ પ્રાથમિક ભાગો દ્વારા જનરેટ કરવામાં આવે છે.

આમ, બાયોટ-સોવરનો કાયદો તમને કંડક્ટરના વિભાગ (જાણીતી લંબાઈ dl) ના ચુંબકીય ઇન્ડક્શન B નું મૂલ્ય, આપેલ ડાયરેક્ટ કરંટ I સાથે, કંડક્ટરના આ વિભાગથી ચોક્કસ અંતરે r અને એમાં શોધવાની મંજૂરી આપે છે. પસંદ કરેલ વિભાગમાંથી અવલોકનની ચોક્કસ દિશા (વિદ્યુતપ્રવાહની દિશા અને કંડક્ટરના વિભાગથી કંડક્ટરની નજીકની જગ્યામાં તપાસેલ બિંદુ સુધીની દિશા વચ્ચેના કોણની સાઈન દ્વારા સેટ કરો):

તે પ્રાયોગિક રીતે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું કે ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરની દિશા જમણા હાથના સ્ક્રૂ અથવા ગિમ્બલ નિયમ દ્વારા સરળતાથી નક્કી કરવામાં આવે છે: જો તેના પરિભ્રમણ દરમિયાન ગિમ્બલની અનુવાદાત્મક હિલચાલની દિશા વાયરમાં સીધા પ્રવાહ I ની દિશા સાથે સુસંગત હોય, તો પછી ગિમ્બલ હેન્ડલના પરિભ્રમણની દિશા આપેલ વર્તમાન દ્વારા ઉત્પાદિત ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર B ની દિશા નક્કી કરે છે.

સીધા પ્રવાહ વહન કરતા વાયરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર, તેમજ તેના પર બાયો-સાવર્ટના કાયદાના ઉપયોગનું ઉદાહરણ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે:

તેથી, જો આપણે એકીકૃત કરીએ છીએ, એટલે કે, કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સતત વર્તમાન વાહકના દરેક નાના વિભાગોના યોગદાનને ઉમેરીએ છીએ, તો આપણને તેમાંથી ચોક્કસ ત્રિજ્યા R પર વર્તમાન વાહકનું ચુંબકીય ઇન્ડક્શન શોધવા માટેનું સૂત્ર મળે છે. .

તે જ રીતે, બાયો-સાવર્ડના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તમે વિવિધ રૂપરેખાંકનોના સીધા પ્રવાહોમાંથી અને અવકાશમાં ચોક્કસ બિંદુઓ પરના ચુંબકીય ઇન્ડક્શનની ગણતરી કરી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, વર્તમાન સાથેના વર્તુળાકાર સર્કિટના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ઇન્ડક્શન દ્વારા જોવા મળે છે. નીચેના સૂત્ર:

ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરની દિશા ગિમ્બલ નિયમ અનુસાર સરળતાથી મળી જાય છે, ફક્ત હવે ગિમ્બલને બંધ પ્રવાહની દિશામાં ફેરવવું આવશ્યક છે, અને ગિમ્બલની આગળની ગતિ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરની દિશા બતાવશે.

જો આપણે જનરેટીંગ ફીલ્ડ દ્વારા આપવામાં આવેલ પ્રવાહોના રૂપરેખાંકનની સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લઈએ તો ચુંબકીય ક્ષેત્રના સંદર્ભમાં ઘણી વખત ગણતરીઓને સરળ બનાવી શકાય છે. અહીં તમે ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરના પરિભ્રમણના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકો છો (જેમ કે ઇલેક્ટ્રોસ્ટેટિક્સમાં ગૌસ પ્રમેય). "ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરનું પરિભ્રમણ" શું છે?

ચાલો આપણે અવકાશમાં મનસ્વી આકારનો ચોક્કસ બંધ લૂપ પસંદ કરીએ અને શરતી રીતે તેની મુસાફરીની સકારાત્મક દિશા સૂચવીએ. આ લૂપના દરેક બિંદુ માટે, તમે તે બિંદુ પરના લૂપના સ્પર્શક પર ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર Bનું પ્રક્ષેપણ શોધી શકો છો. પછી સમોચ્ચના તમામ વિભાગોની પ્રાથમિક લંબાઈ દ્વારા આ જથ્થાના ઉત્પાદનોનો સરવાળો એ આ સમોચ્ચ સાથે ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર બીનું પરિભ્રમણ છે:

વ્યવહારીક રીતે તમામ પ્રવાહો કે જે અહીં સામાન્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે તે કાં તો વિચારણા હેઠળના સર્કિટમાં પ્રવેશી શકે છે, અથવા તેમાંથી કેટલાક તેની બહાર હોઈ શકે છે. પરિભ્રમણ પ્રમેય મુજબ: બંધ લૂપમાં પ્રત્યક્ષ પ્રવાહોના ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર Bનું પરિભ્રમણ લૂપમાં પ્રવેશતા તમામ સીધા પ્રવાહોના સરવાળા દ્વારા સંખ્યાત્મક રીતે ચુંબકીય અચલ mu0 ના ઉત્પાદન જેટલું છે. આ પ્રમેય 1826 માં આન્દ્રે મેરી એમ્પીયર દ્વારા ઘડવામાં આવ્યો હતો:

ઉપરની આકૃતિનો વિચાર કરો. અહીં, પ્રવાહો I1 અને I2 સર્કિટમાં પ્રવેશ કરે છે, પરંતુ તેઓ જુદી જુદી દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે, જેનો અર્થ છે કે તેમની પાસે શરતી રીતે અલગ ચિહ્નો છે.સકારાત્મક ચિહ્નમાં વર્તમાન હશે જેની ચુંબકીય ઇન્ડક્શનની દિશા (મૂળભૂત નિયમ અનુસાર) પસંદ કરેલ સર્કિટના બાયપાસની દિશા સાથે એકરુપ છે. આ પરિસ્થિતિ માટે, પરિભ્રમણ પ્રમેય ફોર્મ લે છે:

સામાન્ય રીતે, ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર B ના પરિભ્રમણ માટેનો પ્રમેય ચુંબકીય ક્ષેત્ર સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત અને બાયોટ-સાવર્ડ કાયદાને અનુસરે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અમે ડાયરેક્ટ કરંટ વાહકના ચુંબકીય ઇન્ડક્શન માટેનું સૂત્ર મેળવીએ છીએ. ચાલો વર્તુળના રૂપમાં સમોચ્ચ પસંદ કરીએ, જેના કેન્દ્રમાંથી આ વાયર પસાર થાય છે, અને વાયર કોન્ટૂરના પ્લેન પર લંબ છે.

આમ વર્તુળનું કેન્દ્ર વાહકની મધ્યમાં એટલે કે વાહકમાં સીધું આવેલું છે. ચિત્ર સપ્રમાણ હોવાથી, વેક્ટર B વર્તુળ તરફ સ્પર્શક રીતે નિર્દેશિત થાય છે, અને તેથી સ્પર્શક પર તેનો પ્રક્ષેપણ દરેક જગ્યાએ સમાન હોય છે અને વેક્ટર B ની લંબાઈ જેટલો હોય છે. પરિભ્રમણ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

તેથી, સીધા પ્રવાહ સાથે સીધા વાહકના ચુંબકીય ઇન્ડક્શન માટેનું સૂત્ર અનુસરે છે (આ સૂત્ર પહેલેથી જ ઉપર આપવામાં આવ્યું છે). તેવી જ રીતે, પરિભ્રમણ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, સપ્રમાણ ડીસી રૂપરેખાંકનોના ચુંબકીય ઇન્ડક્શનને સરળતાથી શોધી શકાય છે જ્યાં ક્ષેત્ર રેખાઓનું ચિત્ર વિઝ્યુઅલાઈઝ કરવું સરળ છે.

પરિભ્રમણ પ્રમેયના ઉપયોગના વ્યવહારિક રીતે મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણોમાંનું એક ટોરોઇડલ ઇન્ડક્ટરની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર શોધવાનું છે.

ધારો કે ડોનટ આકારની કાર્ડબોર્ડ ફ્રેમ પર ગોળ-થી-ગોળ ટોરોઇડલ કોઇલ ઘા છે N વળાંકની સંખ્યા સાથે. આ રૂપરેખાંકનમાં, ચુંબકીય ઇન્ડક્શન રેખાઓ મીઠાઈની અંદર બંધ છે અને આકારમાં કેન્દ્રિત (એકબીજાની અંદર) વર્તુળો છે. .

જો તમે મીઠાઈના આંતરિક અક્ષ સાથે ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટરની દિશામાં જુઓ, તો તે તારણ આપે છે કે વર્તમાન દરેક જગ્યાએ ઘડિયાળની દિશામાં (ગિમ્બલ નિયમ મુજબ) નિર્દેશિત છે. કોઇલની અંદર ચુંબકીય ઇન્ડક્શનની એક રેખા (લાલ રંગમાં બતાવેલ) ને ધ્યાનમાં લો અને તેને ત્રિજ્યા r ના ગોળાકાર લૂપ તરીકે પસંદ કરો. પછી આપેલ સર્કિટ માટે પરિભ્રમણ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે:

અને કોઇલની અંદરના ક્ષેત્રનું ચુંબકીય ઇન્ડક્શન સમાન હશે:

પાતળા ટોરોઇડલ કોઇલ માટે, જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર તેના સમગ્ર ક્રોસ-સેક્શન પર લગભગ સમાન હોય છે, ચુંબકીય ઇન્ડક્શન માટે અભિવ્યક્તિ લખવી શક્ય છે જાણે અનંત લાંબા સોલેનોઇડ માટે, એકમ લંબાઈ દીઠ વળાંકની સંખ્યાને ધ્યાનમાં લેતા — n :

હવે એક અનંત લાંબા સોલેનોઇડનો વિચાર કરો જ્યાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર સંપૂર્ણપણે અંદર છે. અમે પસંદ કરેલ લંબચોરસ સમોચ્ચ પર પરિભ્રમણ પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ.

અહીં ચુંબકીય ઇન્ડક્શન વેક્ટર માત્ર બાજુ 2 પર જ બિન-શૂન્ય પ્રક્ષેપણ આપશે (તેની લંબાઈ L બરાબર છે). પરિમાણ n — «એકમ લંબાઈ દીઠ વળાંકોની સંખ્યા» નો ઉપયોગ કરીને, અમને પરિભ્રમણ પ્રમેયનું એવું સ્વરૂપ મળે છે, જે આખરે મલ્ટિટોનકોય ટોરોઇડલ કોઇલના સમાન સ્વરૂપમાં ઘટાડે છે: