સંપર્ક સર્કિટ બીજગણિતના કાયદા, બુલિયન બીજગણિત

રિલે સર્કિટ્સનું માળખું અને ઓપરેટિંગ શરતોનું વિશ્લેષણાત્મક રેકોર્ડ સર્કિટ્સના વિશ્લેષણાત્મક સમકક્ષ પરિવર્તનને હાથ ધરવાનું શક્ય બનાવે છે, એટલે કે, માળખાકીય સૂત્રોનું રૂપાંતર કરીને, તેમની કામગીરીમાં સમાન યોજનાઓ શોધવી. રૂપાંતરણ પદ્ધતિઓ ખાસ કરીને સંપર્ક સર્કિટને વ્યક્ત કરતા માળખાકીય સૂત્રો માટે સંપૂર્ણપણે વિકસિત છે.

સંપર્ક સર્કિટ માટે, તર્કના બીજગણિતના ગાણિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, તેની સૌથી સરળ જાતોમાંની એક, જેને પ્રપોઝિશન કેલ્ક્યુલસ અથવા બુલિયન બીજગણિત કહેવામાં આવે છે (છેલ્લી સદીના ગણિતશાસ્ત્રી જે. બૂલે પછી).

પ્રપોઝલ કેલ્ક્યુલસ મૂળ રૂપે પરાધીનતાનો અભ્યાસ કરવા માટે વિકસાવવામાં આવ્યું હતું (સત્ય અથવા અસત્ય પરના જટિલ ચુકાદાઓની સત્યતા અથવા તેમને કંપોઝ કરતી સરળ દરખાસ્તોની અસત્યતા. સારમાં, પ્રપોઝલ કેલ્ક્યુલસ એ બે સંખ્યાઓનું બીજગણિત છે, એટલે કે, એક બીજગણિત જે દરેક વ્યક્તિગત દલીલ અને દરેક કાર્યમાં બેમાંથી એક મૂલ્ય હોઈ શકે છે.

આ સંપર્ક સર્કિટને પરિવર્તિત કરવા માટે બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરવાની સંભાવનાને નિર્ધારિત કરે છે, કારણ કે માળખાકીય સૂત્રમાં સમાવિષ્ટ દરેક દલીલો (સંપર્કો) માત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે, એટલે કે, તે બંધ અથવા ખુલ્લું હોઈ શકે છે, અને સમગ્ર કાર્ય માળખાકીય દ્વારા રજૂ થાય છે. સૂત્ર બંધ અથવા ખુલ્લા લૂપને વ્યક્ત કરી શકે છે.

બુલિયન બીજગણિત રજૂ કરે છે:

1) ઑબ્જેક્ટ્સ કે જે સામાન્ય બીજગણિતની જેમ, નામો ધરાવે છે: સ્વતંત્ર ચલો અને કાર્યો — જો કે, સામાન્ય બીજગણિતથી વિપરીત, બુલિયન બીજગણિતમાં બંને માત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે: 0 અને 1;

2) મૂળભૂત તર્ક કામગીરી:

• તાર્કિક ઉમેરણ (અથવા વિભાજન, તાર્કિક અથવા, ચિહ્ન દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે?), જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: ઓપરેશનનું પરિણામ 0 છે જો અને માત્ર જો ઑપરેશનની બધી દલીલો 0 ની બરાબર હોય, અન્યથા પરિણામ 1 છે;

• તાર્કિક ગુણાકાર (અથવા જોડાણ, તાર્કિક AND, દ્વારા સૂચિત?, અથવા બિલકુલ ઉલ્લેખિત નથી) જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: ઓપરેશનનું પરિણામ 1 છે જો અને માત્ર જો ઓપરેશનની બધી દલીલો 1 ની બરાબર હોય, અન્યથા પરિણામ 0 છે;

• નકાર (અથવા ઊલટું, તાર્કિક NOT, દલીલની ઉપરના બાર દ્વારા સૂચવાયેલ), જે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: ઑપરેશનના પરિણામમાં દલીલની વિરુદ્ધ મૂલ્ય હોય છે;

3) સ્વયંસિદ્ધ (બુલિયન બીજગણિતના કાયદા), જે તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓના પરિવર્તન માટેના નિયમોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.

નોંધ કરો કે દરેક લોજિકલ ઑપરેશન ચલો અને ફંક્શન્સ બંને પર કરી શકાય છે, જેને નીચે બુલિયન ફંક્શન કહેવામાં આવશે... યાદ કરો કે, સામાન્ય બીજગણિત સાથે સામ્યતા દ્વારા, બુલિયન બીજગણિતમાં, લોજિકલ ગુણાકારની ક્રિયાને લોજિકલ કરતાં અગ્રતા છે. વધારાની કામગીરી.

બુલિયન અભિવ્યક્તિઓ સંખ્યાબંધ ઑબ્જેક્ટ્સ (ચલો અથવા કાર્યો) પરના તાર્કિક ઑપરેશન્સને જોડીને બનાવવામાં આવે છે, જેને ઑપરેશનની દલીલો કહેવાય છે.

બુલિયન બીજગણિતના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતરણ સામાન્ય રીતે ઘટાડવાના ઉદ્દેશ્ય સાથે કરવામાં આવે છે, કારણ કે અભિવ્યક્તિ જેટલી સરળ હોય છે, તેટલી જ તર્ક સાંકળની જટિલતા ઓછી હોય છે, જે તાર્કિક અભિવ્યક્તિનું તકનીકી અમલીકરણ છે.

બુલિયન બીજગણિતના નિયમો સ્વયંસિદ્ધ અને પરિણામોના સમૂહ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. ચલોના વિવિધ મૂલ્યોને બદલીને આને એકદમ સરળ રીતે ચકાસી શકાય છે.

બુલિયન ફંક્શન માટે કોઈપણ તાર્કિક અભિવ્યક્તિનું ટેકનિકલ એનાલોગ એ લોજિક ડાયાગ્રામ છે... આ કિસ્સામાં, બુલિયન ફંક્શન જેના પર આધાર રાખે છે તે ચલો આ સર્કિટના બાહ્ય ઇનપુટ્સ સાથે જોડાયેલા છે, બુલિયન ફંક્શનનું મૂલ્ય સર્કિટનું બાહ્ય આઉટપુટ, અને લોજિકલ એક્સપ્રેશનમાં દરેક લોજિકલ ઓપરેશન લોજિકલ એલિમેન્ટ દ્વારા અમલમાં મૂકવામાં આવે છે.

આમ, લોજિક સર્કિટના આઉટપુટ પર ઇનપુટ સિગ્નલોના દરેક સેટ માટે, એક સિગ્નલ જનરેટ થાય છે જે ચલોના આ સમૂહના બુલિયન ફંક્શનના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય છે (વધુમાં, અમે નીચેના સંમેલનનો ઉપયોગ કરીશું: 0 — નીચું સિગ્નલ સ્તર , 1 — સિગ્નલનું ઉચ્ચ સ્તર).

લોજિક સર્કિટ્સ બનાવતી વખતે, અમે ધારીશું કે ચલોને પેરાફેસ કોડમાં ઇનપુટ આપવામાં આવે છે (એટલે ​​​​કે, ચલોની સીધી અને વ્યસ્ત બંને કિંમતો ઉપલબ્ધ છે).

કોષ્ટક 1 GOST 2.743-91 અનુસાર કેટલાક તર્ક તત્વોના પરંપરાગત ગ્રાફિક હોદ્દાઓ તેમજ તેમના વિદેશી સમકક્ષો દર્શાવે છે.

ટેબમાં બુલિયન બીજગણિત (AND, OR, NOT) ની ત્રણ ક્રિયાઓ કરે છે તે તત્વો ઉપરાંત. 1 એ તત્વો બતાવે છે જે મુખ્યમાંથી તારવેલી કામગીરી કરે છે:

— અને -નૉટ — તાર્કિક ગુણાકારનો નકાર, જેને શેફર મૂવ પણ કહેવાય છે (| દ્વારા સૂચિત)

— અથવા -નથી — તાર્કિક પૂરકનો નકાર, જેને પીયર્સ એરો પણ કહેવાય છે (દ્વારા સૂચિત?)

લોજિક ગેટ્સને સીરીયલ રીતે જોડીને, તમે કોઈપણ બુલિયન ફંક્શનને અમલમાં મૂકી શકો છો.

સામાન્ય રીતે રિલે સર્કિટને વ્યક્ત કરતા માળખાકીય સૂત્રો, એટલે કે, પ્રતિક્રિયા આપતા ગરુડના પ્રતીકો ધરાવતા, માત્ર બંધ અથવા ખુલ્લા સર્કિટને વ્યક્ત કરતા બે મૂલ્યોના કાર્યો તરીકે ગણી શકાય નહીં. તેથી, આવા કાર્યો સાથે કામ કરતી વખતે, સંખ્યાબંધ નવી નિર્ભરતા ઊભી થાય છે જે બુલિયન બીજગણિતની મર્યાદાઓથી આગળ વધે છે.

બુલિયન બીજગણિતમાં, મૂળભૂત કાયદાઓની ચાર જોડી છે: બે વિસ્થાપન, બે સંયુક્ત, બે વિતરણાત્મક અને બે કાનૂની વ્યુત્ક્રમો. આ કાયદાઓ વિવિધ અભિવ્યક્તિઓની સમાનતા સ્થાપિત કરે છે, એટલે કે, તેઓ સામાન્ય બીજગણિતમાં ઓળખના અવેજીની જેમ એકબીજા માટે બદલી શકાય તેવા અભિવ્યક્તિઓને ધ્યાનમાં લે છે. સમાનતા પ્રતીક તરીકે આપણે પ્રતીક લઈએ છીએ જે સામાન્ય બીજગણિત (=) માં સમાનતા પ્રતીક સમાન છે.

સંપર્ક સર્કિટ માટે બુલિયન બીજગણિતના નિયમોની માન્યતા સમકક્ષ અભિવ્યક્તિઓની ડાબી અને જમણી બાજુઓને અનુરૂપ સર્કિટને ધ્યાનમાં લઈને સ્થાપિત કરવામાં આવશે.

મુસાફરી કાયદા

ઉમેરવા માટે: x + y = y + x

આ અભિવ્યક્તિઓને અનુરૂપ યોજનાઓ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 1, એ.

ડાબી અને જમણી સર્કિટ્સ સામાન્ય રીતે ઓપન સર્કિટ હોય છે, જેમાંથી પ્રત્યેક તત્વો (X અથવા Y) ટ્રિગર થાય ત્યારે બંધ થાય છે, એટલે કે, આ સર્કિટ સમકક્ષ હોય છે. ગુણાકાર માટે: x ·y = y ·NS.

આ અભિવ્યક્તિઓને અનુરૂપ યોજનાઓ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 1b, તેમની સમાનતા પણ સ્પષ્ટ છે.

ચોખા. 1

સંયોજનના નિયમો

વધારા માટે: (x + y) + z = x + (y + z)

ગુણાકાર માટે: (x ·y) ·z = x · (y ·z)

આ અભિવ્યક્તિઓને અનુરૂપ સમકક્ષ સર્કિટની જોડી ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 2, એ, બી

ચોખા. 2

વિતરણ કાયદા

ગુણાકાર વિરુદ્ધ સરવાળો: (x + y) +z = x + (y + z)

ઉમેરણ વિ ગુણાકાર. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

આ અભિવ્યક્તિઓને અનુરૂપ યોજનાઓ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 3, એ, બી.

ચોખા. 3.

કોન્ટેક્ટ એક્ટ્યુએશનના વિવિધ સંયોજનોને ધ્યાનમાં લઈને આ યોજનાઓની સમાનતા સરળતાથી ચકાસી શકાય છે.

વ્યુત્ક્રમના નિયમો

વધુમાં: NS + c = NS·c

અભિવ્યક્તિની ડાબી બાજુની ઉપરની પટ્ટી એ નકારાત્મક અથવા વ્યુત્ક્રમ ચિહ્ન છે. આ ચિહ્ન સૂચવે છે કે સમગ્ર કાર્યનો નકારાત્મક ચિહ્નની નીચેની અભિવ્યક્તિના સંદર્ભમાં વિપરીત અર્થ છે. સમગ્ર વ્યસ્ત કાર્યને અનુરૂપ આકૃતિ દોરવી શક્ય નથી. પરંતુ નકારાત્મક ચિન્હ હેઠળની અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ રેખાકૃતિ દોરી શકાય છે. આમ, ફોર્મ્યુલાને ફિગમાં દર્શાવેલ આકૃતિઓ દ્વારા સમજાવી શકાય છે. 4, એ.

ચોખા. 4.

ડાબી રેખાકૃતિ x + y અભિવ્યક્તિને અનુરૂપ છે અને જમણી રેખા NS ·c સાથે

આ બે સર્કિટ ઓપરેશનમાં એકબીજાની વિરુદ્ધ છે, એટલે કે: જો અનએક્સાઇટેડ તત્વો X, Y સાથે ડાબી સર્કિટ ખુલ્લી સર્કિટ છે, તો જમણી સર્કિટ બંધ છે. જો ડાબી સર્કિટમાં, જ્યારે તત્વોમાંથી એક ટ્રિગર થાય છે, ત્યારે સર્કિટ બંધ થાય છે, અને જમણી સર્કિટમાં, તેનાથી વિપરીત, તે ખુલે છે.

કારણ કે, ઋણ ચિહ્નની વ્યાખ્યા દ્વારા, x + y ફંક્શન x + y નું વ્યસ્ત છે, તો તે સ્પષ્ટ છે કે x + y = NS·in.

ગુણાકાર અંગે: NS · c = NS + c

અનુરૂપ યોજનાઓ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 4, બી.

ટ્રાન્સલોકેટિવ અને કોમ્બિનેશનલ અને કાયદાઓ અને સરવાળાના સંદર્ભમાં ગુણાકારનો વિતરક કાયદો (સામાન્ય બીજગણિતના સમાન કાયદાને અનુરૂપ).તેથી, શરતોના ઉમેરા અને ગુણાકારના ક્રમમાં માળખાકીય સૂત્રોના રૂપાંતરણના કિસ્સામાં, કૌંસની બહાર શરતોની પ્લેસમેન્ટ અને કૌંસના વિસ્તરણના કિસ્સામાં, તમે સામાન્ય બીજગણિત અભિવ્યક્તિઓ સાથે કામ કરવા માટે સ્થાપિત નિયમોનું પાલન કરી શકો છો. ગુણાકારના સંદર્ભમાં સરવાળોનો વિતરક કાયદો અને વ્યુત્ક્રમના નિયમો બુલિયન બીજગણિત માટે વિશિષ્ટ છે.