નંબર સિસ્ટમ્સ

સંખ્યા પ્રણાલી એ વિવિધ સંખ્યાત્મક ચિહ્નોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાઓને રજૂ કરવા માટેના નિયમોનો સમૂહ છે. સંખ્યા પ્રણાલીઓને બે પ્રકારમાં વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે: બિન-સ્થિતિગત અને સ્થાનીય.

પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમ્સમાં, દરેક અંકનું મૂલ્ય તે જે સ્થાન ધરાવે છે તેના પર આધાર રાખતું નથી, એટલે કે, તે અંકોના સમૂહમાં જે સ્થાન ધરાવે છે તેના પર. રોમન અંક પ્રણાલીમાં, ત્યાં માત્ર સાત અંકો છે: એક (I), પાંચ (V), દસ (X), પચાસ (L), સો (C), પાંચસો (D), એક હજાર (M). આ સંખ્યાઓ (ચિહ્નો) નો ઉપયોગ કરીને, બાકીની સંખ્યાઓ સરવાળા અને બાદબાકી દ્વારા લખવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, IV એ નંબર 4 (V — I), VI એ નંબર 6 (V + I) નું નોટેશન છે, વગેરે. નંબર 666 રોમન સિસ્ટમમાં નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: DCLXVI.

અમે હાલમાં ઉપયોગ કરીએ છીએ તેના કરતાં આ નોટેશન ઓછું અનુકૂળ છે. અહીં છ એક ચિન્હ (VI) સાથે લખવામાં આવે છે, છ દસ બીજા (LX), છ સો અને ત્રીજા (DC) સાથે લખવામાં આવે છે. રોમન અંક પદ્ધતિમાં લખેલી સંખ્યાઓ સાથે અંકગણિત કામગીરી કરવી ખૂબ જ મુશ્કેલ છે. ઉપરાંત, બિન-સ્થિતિગત પ્રણાલીઓનો એક સામાન્ય ગેરલાભ એ છે કે તેમાં પર્યાપ્ત મોટી સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરવાની જટિલતા છે જેથી કરીને અત્યંત બોજારૂપ નોટેશનમાં પરિણમી શકે.

હવે પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમમાં સમાન સંખ્યા 666 ને ધ્યાનમાં લો. તેમાં, એક ચિહ્ન 6 નો અર્થ છે જો તે છેલ્લા સ્થાને હોય તો તેની સંખ્યા, જો તે ઉપાંતીય સ્થાને હોય તો દસની સંખ્યા અને જો તે અંતથી ત્રીજા સ્થાને હોય તો સેંકડોની સંખ્યા. સંખ્યાઓ લખવાના આ સિદ્ધાંતને સ્થાનીય (સ્થાનિક) કહેવામાં આવે છે. આવા રેકોર્ડિંગમાં, દરેક અંક માત્ર તેની શૈલી પર જ નહીં, પણ જ્યારે નંબર લખવામાં આવે છે ત્યારે તે ક્યાં રહે છે તેના આધારે સંખ્યાત્મક મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.

પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમમાં, A = +a1a2a3 … ann-1an તરીકે રજૂ થતી કોઈપણ સંખ્યાને સરવાળો તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

જ્યાં n — સંખ્યાની ઈમેજમાં અંકોની મર્યાદિત સંખ્યા, ii નંબર i-go અંક, d — નંબર સિસ્ટમનો આધાર, i — શ્રેણીની ઑર્ડિનલ નંબર, dm-i — i-ro કૅટેગરીની "વજન" . અંકો ai એ અસમાનતા 0 <= a <= (d — 1) ને સંતોષવા જ જોઈએ.

દશાંશ સંકેત માટે, d = 10 અને ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

એકસાથે ઉપયોગમાં લેવાતી વખતે એક અને શૂન્યનો સમાવેશ કરતી સંખ્યાઓ દશાંશ અથવા દ્વિસંગી સંખ્યાઓ તરીકે સમજી શકાય છે, તેથી સંખ્યા સિસ્ટમનો આધાર સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે (1100)2-દ્વિસંગી, (1100)10-દશાંશ.

ડિજિટલ કમ્પ્યુટર્સમાં, દશાંશ સિવાયની સિસ્ટમોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે: દ્વિસંગી, ઓક્ટલ અને હેક્સાડેસિમલ.

દ્વિસંગી સિસ્ટમ

આ સિસ્ટમ માટે d = 2 અને અહીં માત્ર બે અંકોને મંજૂરી છે, એટલે કે ai = 0 અથવા 1.

દ્વિસંગી પ્રણાલીમાં દર્શાવેલ કોઈપણ સંખ્યાને આપેલ બીટના દ્વિસંગી અંકના બે ગણા આધારની શક્તિના ગુણાંકના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 101.01 નંબર આ રીતે લખી શકાય છે: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, જે દશાંશ પદ્ધતિમાં સંખ્યાને અનુરૂપ છે: 4 + 1 + 0.25 = 5.25

મોટાભાગના આધુનિક ડિજિટલ કમ્પ્યુટર્સમાં, દ્વિસંગી નંબર સિસ્ટમનો ઉપયોગ મશીનમાં સંખ્યાઓ રજૂ કરવા અને તેના પર અંકગણિત કામગીરી કરવા માટે થાય છે.

દ્વિસંગી નંબર સિસ્ટમ, દશાંશની તુલનામાં, અંકગણિત ઉપકરણ અને મેમરી ઉપકરણના સર્કિટ અને સર્કિટને સરળ બનાવવા અને કમ્પ્યુટરની વિશ્વસનીયતા વધારવાનું શક્ય બનાવે છે. દ્વિસંગી સંખ્યાના દરેક બીટનો અંક ટ્રાન્ઝિસ્ટર, ડાયોડ જેવા તત્વોની «ચાલુ/બંધ» સ્થિતિઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, જે «ચાલુ/બંધ» સ્થિતિમાં વિશ્વસનીય રીતે કાર્ય કરે છે. દ્વિસંગી સિસ્ટમના ગેરફાયદામાં વિશિષ્ટ પ્રોગ્રામ અનુસાર મૂળ ડિજિટલ ડેટાને દ્વિસંગી નંબર સિસ્ટમમાં અને નિર્ણયના પરિણામોને દશાંશમાં અનુવાદિત કરવાની જરૂરિયાતનો સમાવેશ થાય છે.

ઓક્ટલ નંબર સિસ્ટમ

આ સિસ્ટમનો આધાર d == 8 છે. સંખ્યાઓ દર્શાવવા માટે સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થાય છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

કોમ્પ્યુટરમાં ઓક્ટલ નંબર સિસ્ટમનો ઉપયોગ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે (પ્રોગ્રામિંગ પ્રક્રિયામાં), મશીનની કામગીરી તપાસવામાં અને પ્રોગ્રામને ડીબગ કરવા માટે તૈયાર કરવામાં સહાયક તરીકે થાય છે. આ સિસ્ટમ દ્વિસંગી સિસ્ટમ કરતાં સંખ્યાની ટૂંકી રજૂઆત આપે છે. ઓક્ટલ નંબર સિસ્ટમ તમને બાઈનરી સિસ્ટમ પર સ્વિચ કરવાની મંજૂરી આપે છે.

હેક્સાડેસિમલ નંબર સિસ્ટમ

આ સિસ્ટમમાં આધાર d = 16 છે. સંખ્યાઓ દર્શાવવા માટે 16 અક્ષરોનો ઉપયોગ થાય છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, અને અક્ષરો A … F દશાંશ સંખ્યાઓ 10, 11, 12, 13, 14 અને 15 દર્શાવે છે. હેક્સાડેસિમલ સંખ્યા (1D4F) 18 દશાંશ 7503 ને અનુરૂપ હશે કારણ કે (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 + 14 15 x 16O = (7503)10

હેક્સાડેસિમલ નોટેશન દ્વિસંગી સંખ્યાઓને ઓક્ટલ કરતાં વધુ સઘન રીતે લખવાની મંજૂરી આપે છે. તે કેટલાક કમ્પ્યુટર્સના ઇનપુટ અને આઉટપુટ ઉપકરણો અને નંબર ઓર્ડર ડિસ્પ્લે ઉપકરણોમાં એપ્લિકેશન શોધે છે.

દ્વિસંગી-દશાંશ નંબર સિસ્ટમ

દ્વિસંગી-દશાંશ પદ્ધતિમાં સંખ્યાઓની રજૂઆત નીચે મુજબ છે. સંખ્યાના દશાંશ સંકેતને આધાર તરીકે લેવામાં આવે છે, અને પછી તેના દરેક અંકો (0 થી 9 સુધી) ચાર-અંકની દ્વિસંગી સંખ્યાના રૂપમાં લખવામાં આવે છે જેને ટેટ્રાડ કહેવાય છે, એટલે કે, પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે એક ચિહ્નનો ઉપયોગ થતો નથી. દશાંશ પદ્ધતિનો દરેક અંક, પરંતુ ચાર.

ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ 647.59 એ BCD 0110 0100 0111, 0101 1001 ને અનુરૂપ હશે.

દ્વિસંગી-દશાંશ નંબર સિસ્ટમનો ઉપયોગ મધ્યવર્તી નંબર સિસ્ટમ તરીકે અને ઇનપુટ અને આઉટપુટ નંબરોને એન્કોડ કરવા માટે થાય છે.

એક નંબર સિસ્ટમને બીજામાં સ્થાનાંતરિત કરવાના નિયમો

કમ્પ્યુટર ઉપકરણો વચ્ચે માહિતીનું વિનિમય મુખ્યત્વે દ્વિસંગી નંબર સિસ્ટમમાં રજૂ કરાયેલ સંખ્યાઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે. જો કે, વપરાશકર્તાને માહિતી દશાંશ પ્રણાલીમાં સંખ્યાઓમાં રજૂ કરવામાં આવે છે, અને કમાન્ડ એડ્રેસિંગ ઓક્ટલ સિસ્ટમમાં રજૂ કરવામાં આવે છે. તેથી કમ્પ્યુટર સાથે કામ કરવાની પ્રક્રિયામાં એક સિસ્ટમમાંથી બીજી સિસ્ટમમાં નંબરો ટ્રાન્સફર કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, નીચેના સામાન્ય નિયમનો ઉપયોગ કરો.

પૂર્ણ સંખ્યાને કોઈપણ નંબર સિસ્ટમમાંથી બીજામાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, આ સંખ્યાને નવી સિસ્ટમના પાયા દ્વારા ક્રમિક રીતે વિભાજિત કરવી જરૂરી છે જ્યાં સુધી ભાગાંક વિભાજક કરતા ઓછો ન હોય. નવી સિસ્ટમમાં નંબર છેલ્લા એકથી શરૂ કરીને, એટલે કે, જમણેથી ડાબે, વિભાગના બાકીના સ્વરૂપમાં લખવો આવશ્યક છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો દશાંશ 1987 ને બાઈનરીમાં કન્વર્ટ કરીએ:

બાઈનરી ફોર્મેટમાં દશાંશ નંબર 1987 11111000011 છે, એટલે કે. (1987)10 = (11111000011)2

કોઈપણ સિસ્ટમમાંથી દશાંશમાં બદલાતી વખતે, સંખ્યાને અનુરૂપ ગુણાંક સાથે આધારની શક્તિઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, અને પછી સરવાળાના મૂલ્યની ગણતરી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ઓક્ટલ નંબર 123 ને દશાંશમાં કન્વર્ટ કરીએ: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, એટલે કે. (123)8 = (83)10

સંખ્યાના અપૂર્ણાંક ભાગને કોઈપણ સિસ્ટમમાંથી બીજી સિસ્ટમમાં સ્થાનાંતરિત કરવા માટે, નવી સંખ્યા સિસ્ટમના આધારે આ અપૂર્ણાંકનો ક્રમિક ગુણાકાર અને ઉત્પાદનના પરિણામી અપૂર્ણાંક ભાગોને હાથ ધરવા જરૂરી છે. નવી સિસ્ટમમાં સંખ્યાનો અપૂર્ણાંક ભાગ પ્રથમથી શરૂ કરીને, પરિણામી ઉત્પાદનોના સંપૂર્ણ ભાગોના રૂપમાં રચાય છે. આપેલ ચોકસાઇ સાથે સંખ્યાની ગણતરી ન થાય ત્યાં સુધી ગુણાકાર પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.65625 ને બાઈનરી નંબર સિસ્ટમમાં કન્વર્ટ કરીએ:

પાંચમા ઉત્પાદનના અપૂર્ણાંક ભાગમાં ફક્ત શૂન્યનો સમાવેશ થતો હોવાથી, વધુ ગુણાકાર બિનજરૂરી છે. આનો અર્થ એ છે કે આપેલ દશાંશ ભૂલ વિના બાઈનરીમાં રૂપાંતરિત થાય છે, એટલે કે. (0.65625)10 = (0.10101)2.

ઓક્ટલ અને હેક્સાડેસિમલમાંથી દ્વિસંગી અને ઊલટું રૂપાંતર કરવું મુશ્કેલ નથી. આ એટલા માટે છે કારણ કે તેમના પાયા (d — 8 અને d — 16) બે પૂર્ણાંકોને અનુરૂપ છે (23 = 8 અને 24 = 16).

ઓક્ટલ અથવા હેક્સાડેસિમલ નંબરોને બાઈનરીમાં કન્વર્ટ કરવા માટે, તેમની દરેક સંખ્યાને અનુક્રમે ત્રણ- અથવા ચાર-અંકની દ્વિસંગી સંખ્યા સાથે બદલવા માટે તે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો ઓક્ટલ નંબર (571)8 અને હેક્સાડેસિમલ નંબર (179)16 ને બાઈનરી નંબર સિસ્ટમમાં અનુવાદિત કરીએ.

બંને કિસ્સાઓમાં આપણે સમાન પરિણામ મેળવીએ છીએ, એટલે કે. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

સંખ્યાને દ્વિસંગી-દશાંશમાંથી દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, તમારે દ્વિસંગી-દશાંશમાં રજૂ કરાયેલ સંખ્યાના પ્રત્યેક ટેટ્રાડને દશાંશમાં રજૂ કરાયેલ અંક સાથે બદલવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો નંબર લખીએ (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 દશાંશ સંકેતમાં, એટલે કે. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 = (218,625)