AC સર્કિટમાં ગણતરી માટે જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ શા માટે થાય છે

જેમ તમે જાણો છો, જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ વિદ્યુત ઇજનેરીમાં કેટલીક સામાન્ય સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે થાય છે. પરંતુ તેઓ શા માટે વપરાય છે અને શા માટે આ રીતે કરવામાં આવે છે? આ તે છે જે આપણે આ લેખ દરમિયાન સમજવાનો પ્રયત્ન કરીશું. હકીકત એ છે કે જટિલ એસી સર્કિટની ગણતરી કરવા માટે જટિલ પદ્ધતિ અથવા જટિલ કંપનવિસ્તારની પદ્ધતિ અનુકૂળ છે. અને શરૂ કરવા માટે, ચાલો ગણિતની કેટલીક મૂળભૂત બાબતોને યાદ કરીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, જટિલ સંખ્યા z માં કાલ્પનિક ભાગ અને વાસ્તવિક ભાગનો સમાવેશ થાય છે, જે એકબીજાથી અલગ છે અને ટેક્સ્ટમાં અલગ રીતે સૂચવવામાં આવે છે. જટિલ સંખ્યા z પોતે બીજગણિત, ત્રિકોણમિતિ અથવા ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

એવું માનવામાં આવે છે કે કાલ્પનિક સંખ્યાઓનો વિચાર 1545 માં શરૂ થયો હતો, જ્યારે ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી, એન્જિનિયર, ફિલસૂફ, ચિકિત્સક અને જ્યોતિષી ગિરોલામો કાર્ડાનોએ તેમના ગ્રંથ "ધ ગ્રેટ આર્ટ" માં સમીકરણો ઉકેલવાની આ પદ્ધતિ પ્રકાશિત કરી હતી, જ્યાં અન્ય લોકોના જણાવ્યા અનુસાર , તેમણે સ્વીકાર્યું કે નિકોલોએ તેમને આ કૃતિના પ્રકાશનના 6 વર્ષ પહેલાં ટાર્ટાગ્લિયા (એક ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી)ને આ વિચાર આપ્યો હતો. તેમના કાર્યમાં, ક્રાડાનો ફોર્મના સમીકરણો ઉકેલે છે:

આ સમીકરણોને ઉકેલવાની પ્રક્રિયામાં, વૈજ્ઞાનિકને કેટલીક "અવાસ્તવિક" સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ સ્વીકારવાની ફરજ પડી હતી, જેનો વર્ગ માઈનસ વન "-1" ની બરાબર હશે, એટલે કે, જાણે એકનું વર્ગમૂળ હોય. ઋણ સંખ્યા, અને જો હવે તેનો વર્ગ કરવામાં આવે છે, તો તે રૂટ હેઠળ અનુરૂપ નકારાત્મક સંખ્યા બનશે. કાર્ડનોએ ગુણાકારનો નિયમ જણાવ્યો, જે મુજબ:

ત્રણ સદીઓથી, ગાણિતિક સમુદાય કાર્ડનો દ્વારા પ્રસ્તાવિત નવા અભિગમની આદત પાડવાની પ્રક્રિયામાં હતો. કાલ્પનિક સંખ્યાઓ ધીમે ધીમે રુટ લઈ રહી છે, પરંતુ ગણિતશાસ્ત્રીઓ સ્વીકારવામાં અચકાય છે. બીજગણિત પર ગૌસના કાર્યોના પ્રકાશન સુધી તે ન હતું, જ્યાં તેમણે બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયને સાબિત કર્યું, કે જટિલ સંખ્યાઓ આખરે સંપૂર્ણપણે સ્વીકારવામાં આવી હતી, 19મી સદી હાથ પર હતી.

કાલ્પનિક સંખ્યાઓ ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે વાસ્તવિક જીવનરક્ષક બની હતી કારણ કે સૌથી જટિલ સમસ્યાઓ કાલ્પનિક સંખ્યાઓના અસ્તિત્વને સ્વીકારીને ઉકેલવા માટે ખૂબ સરળ બની હતી.

તેથી તે ટૂંક સમયમાં ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગમાં આવ્યો. એસી સર્કિટ કેટલીકવાર ખૂબ જ જટિલ હોય છે અને તેમની ગણતરી કરવા માટે ઘણા ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી કરવી પડતી હતી, જે ઘણી વખત ખૂબ જ અસુવિધાજનક હતી.

છેવટે, 1893 માં, તેજસ્વી વિદ્યુત ઇજનેર કાર્લ ઑગસ્ટ સ્ટેઇનમેટ્ઝે શિકાગોમાં ઇન્ટરનેશનલ ઇલેક્ટ્રોટેકનિકલ કોંગ્રેસમાં "જટિલ સંખ્યાઓ અને ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગમાં તેમની એપ્લિકેશન" અહેવાલ સાથે વાત કરી, જે ખરેખર જટિલ પદ્ધતિના ઇજનેરો દ્વારા વ્યવહારુ એપ્લિકેશનની શરૂઆત તરીકે ચિહ્નિત કરે છે. એસી વર્તમાન માટે ઇલેક્ટ્રિક સર્કિટની ગણતરી.

આ આપણે ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસક્રમથી જાણીએ છીએ વૈકલ્પિક પ્રવાહ - આ એક પ્રવાહ છે જે સમય સાથે પરિમાણ અને દિશામાં બંનેમાં બદલાય છે.

ટેક્નોલોજીમાં, વૈકલ્પિક પ્રવાહના વિવિધ સ્વરૂપો છે, પરંતુ આજે સૌથી સામાન્ય છે વૈકલ્પિક સિનુસોઇડલ પ્રવાહ, આ તે છે જેનો ઉપયોગ દરેક જગ્યાએ થાય છે, જેની મદદથી વીજળી પ્રસારિત થાય છે, વૈકલ્પિક પ્રવાહના સ્વરૂપમાં, જે ઉત્પન્ન થાય છે, રૂપાંતરિત થાય છે. ટ્રાન્સફોર્મર્સ અને લોડ દ્વારા વપરાશ થાય છે. સાઇનસૉઇડલ (હાર્મોનિક) કાયદા અનુસાર સમયાંતરે સાઇનસૉઇડલ કરંટ બદલાય છે.

વર્તમાન અને વોલ્ટેજના અસરકારક મૂલ્યો બે વખતના મૂળના કંપનવિસ્તાર મૂલ્યો કરતા ઓછા છે:

જટિલ પદ્ધતિમાં, પ્રવાહો અને વોલ્ટેજના અસરકારક મૂલ્યો નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:

નોંધ કરો કે વિદ્યુત ઇજનેરીમાં, કાલ્પનિક એકમ અક્ષર «j» દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, કારણ કે વર્તમાનને દર્શાવવા માટે અહીં પહેલેથી જ «i» અક્ષરનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.

થી ઓહ્મનો કાયદો પ્રતિકારનું જટિલ મૂલ્ય નક્કી કરે છે:

જટિલ મૂલ્યોના સરવાળા અને બાદબાકી બીજગણિત સ્વરૂપમાં થાય છે, અને ગુણાકાર અને ભાગાકાર ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં થાય છે.

ચાલો મુખ્ય પરિમાણોના ચોક્કસ મૂલ્યો સાથે ચોક્કસ સર્કિટના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને જટિલ કંપનવિસ્તારની પદ્ધતિને ધ્યાનમાં લઈએ.

જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ

આપેલ:

• કોઇલ વોલ્ટેજ 50 V,

• રેઝિસ્ટર પ્રતિકાર 25 ઓહ્મ,

• કોઇલ ઇન્ડક્ટન્સ 500 એમએચ,

• કેપેસિટરની વિદ્યુત ક્ષમતા 30 માઇક્રોફારાડ્સ છે,

• કોઇલ પ્રતિકાર 10 ઓહ્મ,

• મુખ્ય આવર્તન 50 હર્ટ્ઝ.

શોધો: એમીટર અને વોલ્ટમીટર રીડિંગ્સ તેમજ વોટમીટર.

જવાબ:

શરૂ કરવા માટે, અમે શ્રેણી-જોડાયેલા તત્વોના જટિલ પ્રતિકારને લખીએ છીએ, જેમાં વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોનો સમાવેશ થાય છે, પછી અમને સક્રિય-ઇન્ડેક્ટિવ તત્વનો જટિલ પ્રતિકાર મળે છે.

યાદ આવે છે! ઘાતાંકીય સ્વરૂપ મેળવવા માટે, વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોના વર્ગોના સરવાળાના વર્ગમૂળની બરાબર મોડ્યુલસ z અને વાસ્તવિક ભાગ વડે વિભાજિત કાલ્પનિક ભાગના ભાગના આર્કટેન્જેન્ટની બરાબર phi શોધો.

પછી આપણે વર્તમાન શોધીએ છીએ અને તે મુજબ, એમીટરના રીડિંગ્સ:

તેથી એમીટર 0.317 A નો પ્રવાહ બતાવે છે - તે સમગ્ર શ્રેણી સર્કિટ દ્વારા પ્રવાહ છે.

હવે આપણે કેપેસિટરનો કેપેસિટીવ પ્રતિકાર શોધીશું, પછી આપણે તેનો જટિલ પ્રતિકાર નક્કી કરીશું:

પછી અમે આ સર્કિટના કુલ જટિલ અવબાધની ગણતરી કરીએ છીએ:

હવે આપણે સર્કિટ પર લાગુ અસરકારક વોલ્ટેજ શોધીએ છીએ:

વોલ્ટમીટર 19.5 વોલ્ટનું અસરકારક વોલ્ટેજ બતાવશે.

છેલ્લે, અમે વર્તમાન અને વોલ્ટેજ વચ્ચેના તબક્કાના તફાવતને ધ્યાનમાં લેતા, વોટમીટર પ્રદર્શિત કરશે તે પાવર શોધીએ છીએ.

વોટમીટર 3.51 વોટ બતાવશે.

હવે તમે સમજો છો કે ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગમાં જટિલ સંખ્યાઓ કેટલી મહત્વપૂર્ણ છે. તેઓ ઇલેક્ટ્રિકલ સર્કિટની અનુકૂળ ગણતરી માટે ઉપયોગમાં લેવાય છે. ઘણા ઇલેક્ટ્રોનિક માપન ઉપકરણો સમાન ધોરણે કાર્ય કરે છે.