તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિતના મૂળભૂત અને કાયદા
19મી સદીના મધ્યના આઇરિશ ગણિતશાસ્ત્રી જ્યોર્જ બુલ તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિત ("વિચારના નિયમોનો અભ્યાસ") વિકસાવ્યો. તેથી તર્કશાસ્ત્રનું બીજગણિત પણ કહેવાય છે બુલિયન બીજગણિત.
અક્ષર હોદ્દો આપીને, ક્રિયા પ્રતીકોમાં તાર્કિક પરિવર્તનની ક્રિયાઓ વ્યક્ત કરીને, અને આ ક્રિયાઓ માટે સ્થાપિત નિયમો અને સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને, તર્કનું બીજગણિત એલ્ગોરિધમ્સમાં સંપૂર્ણ રીતે વર્ણવેલ નિવેદન તર્કના સંદર્ભમાં આપવામાં આવેલી સમસ્યાને ઉકેલવા માટે તર્ક પ્રક્રિયાને મંજૂરી આપે છે. , એટલે કે, આ સમસ્યાનું નિરાકરણ ગાણિતિક રીતે લખાયેલ પ્રોગ્રામ હોવું જોઈએ.
નિવેદનોની સત્યતા અથવા ખોટીતાને દર્શાવવા માટે (એટલે કે, નિવેદનોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે મૂલ્યો રજૂ કરવા), તર્કનું બીજગણિત દ્વિસંગી સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરે છે, જે આ કિસ્સામાં અનુકૂળ છે. જો વિધાન સાચું છે, તો તે મૂલ્ય 1 લે છે, જો તે ખોટું છે, તો તે મૂલ્ય 0 લે છે. દ્વિસંગી સંખ્યાઓથી વિપરીત, તાર્કિક 1s અને 0s એક જથ્થાને વ્યક્ત કરતા નથી, પરંતુ સ્થિતિ દર્શાવે છે.
તેથી, બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને વર્ણવેલ વિદ્યુત સર્કિટમાં, જ્યાં 1 એ વોલ્ટેજની હાજરી છે અને 0 એ તેની ગેરહાજરી છે, સર્કિટના એક નોડમાં ઘણા સ્રોતોમાંથી વોલ્ટેજનો પુરવઠો (એટલે કે, તેના ઘણા લોજિકલ એકમોનું આગમન) છે. એક તાર્કિક એકમ તરીકે પણ બતાવે છે જે નોડ પર કુલ વોલ્ટેજ નહીં, પરંતુ માત્ર તેની હાજરી દર્શાવે છે.
લોજિક સર્કિટ્સના ઇનપુટ અને આઉટપુટ સિગ્નલોનું વર્ણન કરતી વખતે, ચલોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જે ફક્ત લોજિકલ 0 અથવા 1 ની કિંમતો લે છે. ઇનપુટ પરના આઉટપુટ સિગ્નલોની અવલંબન નક્કી કરવામાં આવે છે. તાર્કિક કામગીરી (કાર્ય)… ચાલો X1 અને X2 દ્વારા ઇનપુટ વેરીએબલ્સ અને y દ્વારા તેમના પર લોજિકલ ઓપરેશન દ્વારા મેળવેલ આઉટપુટ દર્શાવીએ.
આના પર વિચાર ત્રણ મૂળભૂત પ્રાથમિક તાર્કિક કામગીરી, જેની મદદથી વધુને વધુ જટિલનું વર્ણન કરી શકાય છે.
1. અથવા ઓપરેશન — તાર્કિક ઉમેરો:
ચલોના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને જોતાં, આઉટપુટમાં એક ઉત્પન્ન કરવા માટે ઇનપુટમાં ઓછામાં ઓછા એક એકમની પર્યાપ્તતા તરીકે OR ઑપરેશનને વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. ઓપરેશનનું નામ યુનિયન અથવા વાક્યના સિમેન્ટીક અર્થ દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું છે: "જો OR એક ઇનપુટ છે અથવા બીજો એક છે, તો આઉટપુટ એક છે."
2. ઓપરેશન અને — તાર્કિક ગુણાકાર:
ચલોના મૂલ્યોના સંપૂર્ણ સેટને ધ્યાનમાં લેવાથી, AND ઑપરેશનને આઉટપુટ પર એક મેળવવા માટે ઇનપુટ્સ પરના તમામ રાશિઓને મેચ કરવાની જરૂરિયાત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: “જો AND એક ઇનપુટ છે અને બીજો ઇનપુટ છે, તો પછી આઉટપુટ એક છે. "
3. Operation NOT — તાર્કિક નકાર અથવા વ્યુત્ક્રમ. તે વેરીએબલની ઉપરના બાર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉલટાવી દેવામાં આવે છે, ત્યારે ચલની કિંમત ઉલટી થાય છે.
તાર્કિક બીજગણિતના મૂળભૂત નિયમો:
1. શૂન્ય સમૂહનો કાયદો: જો કોઈપણ ચલ શૂન્ય હોય તો કોઈપણ સંખ્યાના ચલોનું ઉત્પાદન અદૃશ્ય થઈ જાય છે, અન્ય ચલોના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લીધા વિના:
2. સાર્વત્રિક સમૂહનો કાયદો - કોઈપણ ચલોનો સરવાળો એક બની જાય છે જો ઓછામાં ઓછા એક ચલોનું મૂલ્ય એક હોય, અન્ય ચલોને ધ્યાનમાં લીધા વગર:
3. પુનરાવર્તનનો કાયદો — અભિવ્યક્તિમાં પુનરાવર્તિત ચલોને અવગણી શકાય છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, બુલિયન બીજગણિતમાં સંખ્યાત્મક ગુણાંક દ્વારા કોઈ ઘાત અને ગુણાકાર નથી):
4. ડબલ વ્યુત્ક્રમનો કાયદો - બે વાર કરવામાં આવેલ વ્યુત્ક્રમ એ ખાલી કામગીરી છે:
5. પૂરકતાનો કાયદો — દરેક ચલનું ઉત્પાદન અને તેનો વ્યસ્ત શૂન્ય છે:
6. દરેક ચલ અને તેના પરસ્પરનો સરવાળો એક છે:
7. રક્ષણાત્મક કાયદા - ગુણાકાર અને ઉમેરણની ક્રિયાઓ કરવાના પરિણામ ચલો જે ક્રમમાં અનુસરે છે તેના પર નિર્ભર નથી:
8. સંયુક્ત કાયદા - ગુણાકાર અને વધારાની કામગીરી દરમિયાન, ચલોને કોઈપણ ક્રમમાં જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે:
9. વિતરણ કાયદા - તેને કૌંસની બહાર કુલ ગુણાંક મૂકવાની મંજૂરી છે:
10. શોષણના નિયમો — તમામ પરિબળો અને શરતોમાં ચલને સમાવતા અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાની રીતો સૂચવો:
11. ડી મોર્ગનના કાયદા - ઉત્પાદનનું વ્યુત્ક્રમ એ ચલોના વ્યુત્ક્રમોનો સરવાળો છે:
સરવાળાનું વ્યુત્ક્રમ એ ચલોના વ્યુત્ક્રમોનું ઉત્પાદન છે:
